Düğümler, Elemanlar, Serbestlik Derecesi ve Sınır Koşulları

Kısaca hatırlamak gerekirse; kompleks mekanik sistemleri veya yapıları analiz etmek söz konusu olduğunda, mühendisler ve bilim insanları genellikle bu sistemleri basitleştirilmiş bir şekilde temsil eden matematiksel modellere dayanırlar.

Modelleme dünyasında, düğümler, elemanlar ve serbestlik dereceleri doğru ve verimli modeller oluşturmada önemli bir rol oynayan temel kavramlardır.

Düğümler

Düğümler, temel olarak bir model oluşturmak için bir araya getirilen elemanların bağlandığı noktalardır. Başka bir deyişle, sistem veya yapıların farklı bileşenlerinin birbirine bağlandığı fiziksel konumları temsil ederler.

Elemanlar

Elemanlar, farklı geometrik şekillere sahip olabilirler ve farklı tiplerde sınıflandırılabilirler. Bunlar arasında çubuk elemanlar, düzlem elemanlar ve kabuk elemanlar bulunur.

2 boyutlu ve 3 boyutlu değişen sayılarda düğümlere sahip eleman tipleri

Çubuk elemanlar (rods, bars, poles, beams), silindirik veya dikdörtgen prizma gibi basit geometrik şekillere sahiptir ve iki düğüm arasındaki bağlantıyı temsil eder. Genellikle yapılarda çerçeve veya kirişlerin modellenmesinde kullanılırlar. Makine elemanı olarak ise kafes (truss) yapılarda karşımıza çıkar.

Düzlem elemanlar (plates), ince bir düzlem şekline sahiptir ve düzlem gerilmeleri modeller. Bu elemanlar, genellikle levhalar, duvarlar, plakalar veya tabakalar gibi yapı bileşenlerinin modellenmesinde kullanılırlar. Düzlem elemanlarının örnekleri arasında üçgen veya dikdörtgen şeklinde elemanlar yer alabilir. Kabuk elemanlar (shells), üç boyutlu yüzeylere sahip elemanlardır. Kabuk elemanları, çatılar, kubbe veya silolar gibi çeşitli yapı bileşenlerinin modellenmesinde kullanılır. Kabuk elemanlarının örnekleri arasında küresel, silindirik veya konik şekilli elemanlar yer alabilir.

Sonlu elemanlar analizi yapılan bir ağ örgüsü oluşturulmuş materyal üzerinde düğüm ve eleman gösterimi. kaynak

Bu eleman tipleri, modellemede kullanılan farklı geometrik şekillere sahip elemanları ifade etmektedir. Farklı eleman tiplerinin seçimi, yapı bileşenlerinin gerçekçi bir şekilde modellenmesine ve doğru sonuçlar elde edilmesine yardımcı olur.

Serbestlik Derecesi

Serbestlik derecesi (degrees of freedom), bir elemanın hareket edebileceği veya dönebileceği yolları ifade eder. Bunlar dönme (rotation) ve öteleme (translation) hareketi olarak ifade edilebilir. Bir elemanın her bir serbestlik derecesi, bir düğümün konumundaki değişime bağlıdır. Bir elemanın serbestlik derecesi, elemanın bir düğüme bağlanabilecek en fazla sayıda hareket derecesini belirler.

Her elemanın farklı sayıda serbestlik derecesi olabilir. Örneğin, bir çubuk elemanının iki serbestlik derecesi vardır: öteleme ve dönme. Bir düzlem elemanının üç serbestlik derecesi vardır: iki düzlemdeki gerilme ve düzlemler arasındaki kayma. Kabuk elemanlarının ise altı serbestlik derecesi vardır: x, y ve z eksenlerindeki hareket ve x, y ve z eksenlerindeki dönme hareketleri.

Serbestlik dereceleri, yapının davranışının anlaşılması ve modellenmesi için önemlidir. Bu kavramın doğru anlaşılması, yapıların analizinde ve tasarımında önemli bir rol oynar. Farklı disiplinlerde serbestlik dereceleri farklı formlar halinde olabilir. Örneğin katı mekaniğinde bir elemanın serbestlik derecesi yer değiştirme (displacement), dönme (rotation) olarak ifade edilebilirken; ısı transferi veya termal analiz söz konusu olduğunda serbestlik derecesi sıcaklık (temperature) olur.

Çeşitli eleman tipleri için eksenel hareket serbestisi örnekleri


Sınır Koşulları

Sınır koşulları, bir yapı elemanının veya bir makine elemanının hareketinin sınırlandığı yerlerde belirlenen koşullardır. Mekanikte sınır koşulları, bir elemanın yerleştirildiği ve diğer elemanlarla olan etkileşimini tanımlayan önemli bir konudur. Sınır koşulları, elemanların hareketine, deformasyonuna ve gerilimine etki eder ve doğru bir şekilde tanımlanmadığı takdirde yapı elemanlarının davranışı yanlış yorumlanabilir.

Sınır koşulları, üç temel tiptedir: sabitlenmiş sınır koşulları, hareketli sınır koşulları ve yük sınır koşulları.

Sabitlenmiş sınır koşulları

Sabitlenmiş sınır koşulları, bir elemanın hareketinin tamamen sınırlandığı koşullardır. Bu koşul, elemanın yer değiştirmesi veya döndürülmesi gibi herhangi bir hareketini engeller. Bu tip sınır koşulları genellikle yapının temelinde veya sabitlenmiş bir duvarda bulunur.

Hareketli sınır koşulları

Hareketli sınır koşulları, bir elemanın hareketinin kısmen sınırlandığı koşullardır. Bu koşullar, elemanın yer değiştirme veya döndürülmesini belli bir dereceye kadar engeller, ancak elemanın kalan hareketi serbesttir. Bu tip sınır koşulları, bir elemanın bir diğer elemana veya bir yapıya sabitlenmesinde kullanılır.

Yük sınır koşulları

Yük sınır koşulları, bir elemanın üzerine uygulanan yükün etkisini belirler. Bu koşullar, elemanın deformasyonuna ve stresine etki eder. Elemanın deformasyonu, elemanın üzerindeki yükün büyüklüğüne bağlıdır ve yük arttıkça elemanın deformasyonu da artar.

Sınır koşulları, yapı elemanlarının doğru bir şekilde modellenmesi ve analiz edilmesi için kritik öneme sahiptir. Yanlış sınır koşulları, elemanların davranışını yanlış yorumlamaya ve yapı sisteminin yanlış bir şekilde modellenmesine neden olabilir. Bu nedenle, sınır koşulları, yapı elemanlarının doğru bir şekilde analiz edilmesi için doğru bir şekilde belirlenmelidir.

Bu sınır koşulları temel olarak üç şekilde ifade edilebilir: sınır koşulunun tanımlandığı Dirichlet tipi koşullar, bu sınır koşuluna bağlı bir gradyan olarak ifade edilen Neumann tipi koşullar ve bu ikisinin kombinasyonu olan, bağımlı bir değişkenin ve bu değişkenin gradyanını içeren Robin tipi koşullar.

Katı mekaniğinden örnek verecek olursak Dirichlet tipi koşul – yer değiştirme (displacement), Neumann tipi koşul – çekiş ya da gerilme (traction, stress), Robin tipi koşul ise yay (spring) olur.



Sonlu elemanlar analizinde en temel tanımlamalardan biri olan bu terimlerin öğrenilmesi, analizin doğru kavranması için önemlidir.

Sonraki yazılarda sonlu elemanlar analizi üzerine yoğunlaşarak; katı mekaniği, malzeme mekaniği gibi konular üzerinde daha teknik ve detaylı yazılarla devam edeceğiz.


ANZ35TUTCTS4G4822
F1 Car Meshing by using Finite Element Method
Sonlu Elemanlar Metodu Nedir? Kullanım Alanları

Sonlu Elemanlar Metodu veya Yöntemi (SEM, Finite Element Method, FEM), genellikle mühendislik hesaplamalarında kullanılan, herhangi bir fiziksel niceliğe sahip bir maddenin çeşitli analizlerini gerçekleştirebilmek için kullanılan sayısal bir tekniktir.

Bu metoda göre, ortada çözümlenmesi gereken bir problem ve bu problemde, belirli şartlar altında analizi yapılması gereken bir yapı vardır ve bu yapı sonlu elemanlar olarak adlandırılan belirli sayıda küçük parçalara bölünerek sonraki analizlerinde her bir parçanın matematiksel olarak ‘davranışının’ test edilmesi amaçlanır. Bunun için çoğunlukla kısmi diferansiyel denklemler kullanılarak türetilen formüller kullanılır.

Sonlu elemanlar metodu kullanılarak analizi yapılan bir maddenin gösterimi

Sonlu Elemanlar Metodunun Tarihçesi

Sonlu elemanlar metodunun temellerinin Euler’in çalışmalarına dayandığı söylenebilir. Ancak, SEM ile ilgili en eski matematiksel makaleler Schellback (1851) ve Courant’ın (1943) çalışmalarında bulunabilir. Başlıca, havacılık ve inşaat mühendisliği ile ilgili yapısal mekanik sorunlarını ele almak için mühendisler tarafından bağımsız olarak geliştirilmiştir. Gelişmeler 1950’lerin ortalarında Turner, Clough, Martin ve Topp (1956), Argyris (1957), Babuska ve Aziz (1972) ile başlamış, Zienkiewicz (1971) ve Strang ve Fix (1973) kitapları da SEM’de gelecekteki gelişimin temellerini atmıştır. Sonlu elemanlar metodunun daha detaylı bir gelişim sürecini İngilizce olarak buradan inceyeleyebilirsiniz.

Teorik Boyut

Sonlu elemanlar metodu, sonsuz boyutlu bir fonksiyon uzayındaki fonksiyonları, sonlu boyutlu bir fonksiyon uzayındaki fonksiyonlara ve ardından sayısal yöntemlerle vektör uzayında izlenebilen vektörlere dönüştürme işlemidir.

Bu, nesnenin bir ağının (sınırlı sayıda noktaya sahip olan çözüm için sayısal alan) oluşturulmasıyla uygulanan uzay boyutlarında belirli bir alan ayrıklaştırmasıyla elde edilir. Bir sınır değer probleminin sonlu eleman yöntemi formülasyonu, sonunda bir cebirsel denklem sistemi ile sonuçlanır. Yöntem, bilinmeyen işlevi etki alanı üzerinden yaklaştırır. Bu sonlu elemanları modelleyen basit denklemler daha sonra tüm problemi modelleyen daha büyük bir denklem sistemine birleştirilir. Daha sonra SEM, ilişkili bir hata fonksiyonunu en aza indirerek bir çözüme yaklaşmak için varyasyonlar hesabından varyasyonel yöntemler kullanır.

Bir fenomeni SEM ile incelemek veya analiz etmek genellikle sonlu eleman analizi (FEA) olarak adlandırılır.

Sonlu Elemanlar Metodunun Kullanım Alanları

Makine mühendisliği disiplini çatısı altındaki çeşitli uzmanlıklar (havacılık, biyomekanik ve otomotiv endüstrileri gibi), ürünlerinin tasarımında ve geliştirilmesinde yaygın olarak entegre SEM kullanır. Birkaç modern SEM paketi, termal, elektromanyetik, akışkan ve yapısal çalışma ortamları gibi belirli bileşenleri içerir. Yapısal bir simülasyonda, SEM, sertlik ve mukavemet görselleştirmelerinin üretilmesinde ve ayrıca ağırlık, malzeme ve maliyetleri en aza indirmede muazzam bir şekilde yardımcı olur.

Temel Sonlu Elemanlar

     Lineer eleman  –  Kuadratik eleman            Lineer eleman – Kuadratik eleman

Sonlu Elemanlar Analizi ve Uygulamadaki Faydaları

Bir modelin en gerçekçi halinden çözümlenebilir haline gelinceye kadar yukarıdaki gibi bir süreç izlenir.

Sonlu elemanlar analizi(SEA, Finite Element Analysis, FEA), yapıların nerede büküldüğünün veya burulduğunun ayrıntılı görselleştirilmesine izin verir ve gerilmelerin ve yer değiştirmelerin dağılımını gösterir. SEM yazılımı, bir sistemin hem modellemesinin hem de analizinin karmaşıklığını kontrol etmek için çok çeşitli simülasyon seçenekleri sunar. Benzer şekilde, istenen doğruluk düzeyi ve ilişkili hesaplama süresi gereksinimleri, çoğu mühendislik uygulamasına hitap etmek için aynı anda yönetilebilir. SEM, tasarım üretilmeden önce tüm tasarımların inşa edilmesini, iyileştirilmesini ve optimize edilmesini sağlar. Ağ (mesh), modelin ayrılmaz bir parçasıdır ve en iyi sonuçları vermek için dikkatlice kontrol edilmelidir. Genel olarak bir ağdaki eleman sayısı ne kadar yüksekse, ayrıklaştırılmış problemin çözümü o kadar doğru olur. Ancak, sonuçların yakınsadığı ve daha fazla mesh iyileştirmenin doğruluğu artırmadığı bir değer vardır.

Sonlu elemanlar analizinin sağlamış olduğu güçlü tasarım imkanları, birçok endüstriyel uygulamada hem mühendislik tasarımlarının standardını hem de tasarım sürecinin metodolojisini önemli ölçüde geliştirmiştir. Ayrıca, SEM’in geliştirilmesi, ürünleri konseptten üretim hattına alma süresini önemli ölçüde azaltmıştır. Öncelikle test ve geliştirmenin hızlandırılması, SEM kullanılarak geliştirilmiş ilk prototip tasarımları sayesinde olmuştur. Özetle, SEM’in faydaları arasında artan doğruluk, geliştirilmiş tasarım ve kritik tasarım parametreleri hakkında daha iyi içgörü, sanal prototip oluşturma, daha az donanım prototipi, daha hızlı ve daha ucuz tasarım döngüsü, artan üretkenlik ve artan gelir bulunur.

 

ANZ76T18TCNP5R6229
Pi Sayısı Nedir? Tarihi ve Önemi

Bu yazıda sitemize de adını veren, Matematiğin en önemli sabitlerinden birisi kabul edilen Pi sayısından bahsedeceğim.

Pi sayısı nedir?

Pi sayısı herhangi bir dairenin çevresinin, çapına olan oranıdır. Çemberin boyutu fark etmeksizin bu oran her zaman pi’ye eşittir. 1647’ye kadar evrensel bir adı veya sembolü yoktu Matematikçiler 1700’lü yıllarda Yunanca “çevre” anlamına gelen περιμέτρου (perimetros) kelimesinin ilk harfi olan π’yi sembol olarak  kullanmaya başlamışlardır. William Jones tarafından 1706 yılında tanıtılan sembol, 1737’de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’in sembolü benimsemesinin ardından kullanımı popülerleşti.

William Jones (1675-1749)

Leonhard Euler (1707-1783)

Pi sayısı nasıl hesaplanır?

1767’de İsviçreli matematikçi Johann Heinrich Lambert pi’nin irrasyonel olduğunu kanıtladı ve 1882’de ise Ferdinand von Lindemann pi’nin sonsuz olduğunu kanıtladı. Bu bulgu önemlidir, çünkü bu noktaya kadar “çemberin karesini almak” olarak bilinen eşit alanlı bir kare ve bir daire oluşturulabileceğine inanılıyordu. Pi’nin sonsuz olduğunu kanıtlamak bunun mümkün olmadığını gösterdi. Pi irrasyonel olduğundan diğer tüm irrasyonel sayılar gibi bir kesir (basit veya kaba kesir olarak da bilinir) olarak gösterilemez.  π sonsuz olduğu için cebirsel değildir. Bu da bize π’nin ikinci derecen bir irrasyonel olamayacağını gösterir. İkinci dereceden bir irrasyonel olamaması π’nin periyodik bir sürekli kesire de  sahip olmadığını ifade eder. Ancak, pi dahil her irrasyonel sayı, sürekli kesir adı verilen sonsuz bir iç içe geçmiş kesirler dizisi ile temsil edilebilir:

Kesrin herhangi bir noktada kesilmesi, π için rasyonel bir yaklaşıklık verir; bunların ilk dördü 3, 22/7, 333/106 ve 355/113’tür. Bu şekilde üretilen her yaklaşım, en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip diğer herhangi bir kesirden π’ye daha yakındır.

Pi Sayısının Tarihi

Erken Dönem Tarihi

Pi’nin tarihi, MÖ 2000 yılına kadar uzanır. Bu dönemlerde Babilliler ve Mısırlılar π’yi kullanmışlardır. Babilliler (yaklaşık MÖ 2000) pi’yi yaklaşık olarak 3,125 kullandılar; bu değer, bir daire içine yazılmış bir altıgenin çevresini hesaplayarak, dairenin çevresine oranının 24/25 olduğunu varsayarak elde ettikleri bir değerdi. Rhind Papirüsü (yaklaşık MÖ 1650) bize eski Mısırlıların 256/81 veya yaklaşık 3.16045 değerini kullandıklarını gösteriyor. Hem Babilliler hem de Mısırlılar pi değerine ilişkin kaba sayısal tahminlere sahipti ve daha sonra Antik Yunanistan’daki matematikçiler, özellikle Arşimet, pi’yi hesaplamak için algoritmik bir yaklaşım kullanan ilk kişi oldu. Arşimet, bir çemberin içine bir çokgen ve çemberin dışına ikinci bir çokgen çizdi. Sonra sürekli olarak çokgen ekleyerek çemberin şekline gittikçe yaklaştı. Böylece 96 kenarlı çokgenlere ulaşarak 223/71 <π <22/7 veya yaklaşık 3.1418 gibi ortalama bir değer elde etti. Arşimet ayrıca bir dairenin alanının, yarıçapının karesine oranının aynı sabit olduğunu ve bir dairenin alanının, tabanı bu dairenin çevresine ve yüksekliği ise yarıçapına eşit bir üçgenin alanına eşit olduğunu kanıtlamıştır. Benzer bir yaklaşım, Çinli matematikçi ve gök bilimci olan Zu Chongzhi (429-501) tarafından da kullanıldı. Bir çemberin çevresinin çapına oranının değerini 355/113 olarak hesapladı.

Arşimet’in kullandığı yöntem
Arşimet’in kullandığı yöntem
Görsel Kaynak: piday

MS 5.yüzyılda geometrik teknikleri kullanarak Hintli matematikçiler π sayısında beş haneye yaklaşırken, Çinli matematikçiler yedi basamaklı bir yaklaşım yaptı. MS 265 civarında, Wei Hanedanı matematikçisi Liu Hui, poligon tabanlı yinelemeli bir algoritma yarattı ve bunu 3.072 kenarlı bir çokgenle kullanarak 3.1416 değerini elde etti. Liu daha sonra hesaplamanın daha hızlı bir yöntemini icat etti ve ardışık çokgenlerin alanlarındaki farklılıkların 4 faktörlü bir geometrik seri oluşturmasından yararlanarak 96 kenarlı bir çokgenle 3.14 değerini elde etti. Hintli gök bilimci Aryabhata, Āryabhaṭīya’sında (MS 499) 3,1416 değerini kullandı. Fibonacci 1220’de, Arşimet’ten bağımsız bir poligonal yöntem kullanarak 3.1418’i hesapladı.

15. yüzyıl

Fars gök bilimci Jamshad al-Kāshī,  1424 yılında pi’nin yaklaşık 16 ondalık basamağına eşdeğer olan 9 altmışlık basamak üretti. Bu basamak değeri yaklaşık 180 yıldır dünya rekoru olmuştur. Madhava, 1400 civarında π’nin 11 hanesini tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı, ancak bu değer, çokgen bir algoritma kullanarak Pers matematikçi Jamsh Jamd al-Kāshī tarafından yaklaşık 1430’da iyileştirildi.

16. ve 17. yüzyıl

Fransız matematikçi François Viète 1579’da 9 basamak elde etti. Flaman matematikçi Adriaan van Roomen ise 1593’te 15 ondalık basamağa ulaştı. 1596’da Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen 20 haneye ulaştı, bu rekor daha sonra 35 haneye yükseldi. 1630’da Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger, 1040 kenarlı çokgenleri kullanarak 38 basamaklı pi hesapladı.

On sekizinci yüzyıla gelindiğinde Fransız matematikçi Georges Buffon π’yi olasılığa dayalı hesaplamanın yolunu buldu (Buffon’un iğne problemi veya Buffon’s needle problem). Isaac Newton, 16 ondalık basamağı hızlı bir şekilde hesaplamak için binom teoremini kullanmış, 20. yüzyılın başlarında, Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan, daha sonra bilgisayar algoritmalarına dahil edilen pi hesaplamanın olağanüstü verimli yollarını geliştirmiştir.

π’nin hesaplanmasında, 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seri tekniklerinin geliştirilmesi ile devrim yaratıldı. Sonsuz seriler, matematikçilerin π’nin hesaplamasını Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek hassasiyetle yapmalarına olanak sağladı. π’yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin ilk yazılı açıklaması Hintli gök bilimci Nilakantha Somayaji tarafından MS 1500 civarında Tantrasamgraha’da Sanskritçe dizesinde ortaya konmuştur. Bu açıklama seri kanıt olmadan sunulmasına rağmen kanıtlar ancak MS 1530 civarında daha sonraki bir Hint eserinde sunuldu. Nilakantha ise, bu seriyi daha önceki Hintli matematikçi Madhava’ya atfeder. Günümüzde Madhava serisi veya Gregory-Leibniz serisi olarak anılan sinüs, tanjant ve kosinüs serileri de dahil olmak üzere birkaç sonsuz dizi tanımlanmıştır.

Pi’nin Hesaplanması
Görsel Kaynak : piday
Yakın tarih ve günümüz

20. yüzyılın başlarına gelindiğinde π’nin yaklaşık 500 basamağı biliniyordu. Modern teknolojik gelişmelerle, π’nin 31 trilyon basamağı hesaplandı. Bununla birlikte, gözlemlenebilir evrenimizdeki tüm hesaplamaları neredeyse hiç hata olmadan yapabilmek için yalnızca π’nin ilk 39 basamağına ihtiyacımız vardır.

İlki 1988 yılında Larry Shaw tarafından organize edilen Pi Günü, her yıl 14 Mart’ta kutlanmaktadır.

Hepimizin Pi Günü kutlu olsun! 🙂

Pi’nin Kullanım Alanları

Pi, yayların uzunluklarını veya diğer eğrileri, elips alanlarını ve diğer eğimli yüzeyleri ve birçok katı hacmini içeren çeşitli matematik problemlerinde ortaya çıkar. Ayrıca, açısal hız, sarkaçların hareketi, sicimlerin titreşimi ve alternatif elektrik akımları gibi periyodik olayları tanımlamak için çeşitli fizik ve mühendislik formüllerinde kullanılır.

MATE577212SS3ZFP64

Simpleks Yöntem

Simpleks yöntem çok değişkenli karar değişkenleri ve kısıtlayıcılardan oluşan doğrusal programlama problemlerinde optimum çözümü bulmak için 1947 yılında George Dantizg tarafından geliştirilmiştir. Bir doğrusal programlama problemini simpleks yöntem ile çözmek için standart formda ifade etmemiz gerekir. Bu sebeple ilk önce standart biçimden bahsedelim.

Standart Biçim

Zenk/enb = c1 . x1 + c2 . x2 + … + cn . xn

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 + … + a1n . xn = b1

a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 + … + a2n . xn = b2

a31 . x1 + a32 . x2 + a33 . x3 + … + a3n . xn = b3

…..

am1 . x1 + am2 . x2 + am3 . x3 + … + amn . xn = bn

x1, x2, x3, … xn ≥ 0

olarak ifade edilen doğrusal programlama modeli aşağıdaki koşulları sağlarsa standart biçimdedir.

  • Amaç fonksiyonu en büyükleme ya da en küçükleme olabilir.
  • Kısıtlayıcı fonksiyonların sağ taraf sabitleri negatif olmamalıdır.
  • Tüm kısıtlayıcı fonksiyonlar eşitlik halinde olmalıdır.
  • Tüm karar değişkenleri negatif olmamalıdır.

Elimizdeki doğrusal programlama modelinde bazı dönüştürmeler yapmaya ihtiyaç duyabiliriz. Bir doğrusal programlama modeli üzerinde dönüşümlere kısaca göz atalım.

  • Bir doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonunun anlamını değiştirmek için fonksiyonu (-1) ile çarpabiliriz. Bu durumda en büyükleme olan amaç fonksiyonu en küçükleme olacaktır.

Zenb = 2x1 + x2 + x3

Zenk = -2x1 – x2 – x3

  • Bir doğrusal programlama modelinin kısıtlarındaki eşitsizliklerin yönünü değiştirmek için kısıtı (-1) ile çarpabiliriz.

3x1 + 4x2 ≥ 6

-3x1 – 4x2 ≤ -6

  • Eşitsizlik durumundaki bir kısıtı eşitliğe çevirmemiz gerekebilir. Bu çevirme işlemi kısıtın yönüne göre değişmektedir. Eğer a1 . x1 + a2 . x2 + a3 . x3 ≥ b1 gibi bir kısıtı eşitlik haline dönüştürmek istiyorsak, eşitsizliğin sol tarafından negatif olmayan bir değişken çıkarmamız gerekir. Bu değişkene, artık değişken denir. Eğer a1 . x1 + a2 . x2 + a3 . x3 ≤ b1 gibi bir kısıtı eşitlik haline dönüştürmemiz gerekiyorsa, eşitsizliğin sol tarafına negatif olmayan bir aylak değişken eklememiz gerekir. Böylece elimizdeki bir doğrusal programlama modelini standart biçime dönüştürerek simpleks yöntem ile çözebiliriz. Son olarak kısıtlayıcı değişkenler eşitlik durumunda ise, eşitliğin sol tarafına “A” ile gösterilen bir yapay değişken eklenmelidir. Simpleks yöntemi daha iyi anlayabilmek için örnek üzerinde inceleyelim.

Örnek

Zenb = 2x1 + 3x2

6x1 + 4x2 ≤ 20

3x1 + x2 ≤ 30

x1 + x2 ≤ 40

x1, x2 ≥ 0

Simpleks yöntem ile çözünüz.

İlk adım olarak doğrusal problemi standart biçime çevirelim.

Standart Biçim

6x1 + 4x2 + x3 = 20

3x1 + 2x2 + x4 = 30

x1 + x2 + x5 = 40

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Burada x3, x4 ve x5 aylak değişkendir. Aylak değişkenler amaç fonksiyonuna eklenirken katsayısı 0 (sıfır) olarak eklenir. Bu durumda amaç fonksiyonumuz aşağıdaki gibi olur.

Zenb = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

Şimdi ise bu problemi çözebilmek için tablo yapmamız gerekir. Bu tablonun üst kısmında değişkenler, sol kısmında temel değişken vektörü altında aylak ve yapay değişkenler yer almalıdır. Ancak burada artık değişkenler (varsa) yer alamazlar. Çünkü temel çözüm uygun olmaz.

AFKTDVx1x2x3x4x5ÇV
0x3      
0x4      
0x5      
Zj      
Zj – Cj      
Simpleks Başlangıç Tablosu Değerler Yazılmamış Hali

AFK = Temeldeki değişkenlerin (TDV altında) amaç fonksiyonundaki katsayıları

TDV = Temel değişken vektörü

ÇV = Çözüm vektörü

Kısıtları tabloya yerleştirirken sıralamaya dikkat etmemiz gerekir. İlk kısıtımızda x3 aylak değişkeni olduğu için, ilk sıraya x3 aylak değişkenini yazıp, x3 aylak değişkeninin bulunduğu satıra ise kısıtın katsayılarını sırasıyla yerleştirmemiz gerekir. Bu işlemi diğer kısıtlar içinde yapmamız gereklidir. Ardından temeldeki değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayılarını yanlarına (AFK) yazmamız bizim için faydalı olacaktır. Çünkü Zj satırını elde etmek için bu katsayıları kullanacağız. Her bir Zj değeri o sütundaki elemanlar ile temeldeki değişkenlerin amaç fonksiyonlarındaki katsayıları çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Böylece

Z1 = 0.6 + 0.3 +0.1 = 0

Z2 = 0.4 + 0.1 +0.1 = 0

Z3 = 0.1 + 0.0 +0.0 = 0

Z4 = 0.0 + 0.1 +0.0 = 0

Z5 = 0.0 + 0.0 +0.1 = 0

Ç.V = 0.20 + 0.3 0+0.40 = 0 olarak elde edilir.

Sırada ise Zj – Cj satırını elde etmek var. Bu satırı elde etmek için her bir Zj değerinden karşılık gelen değişkenin amaç fonksiyonu katsayısının çıkarılması gerekir. Bu durumda

Z1 – C1 = 0 – 2 = -2   ——>C1 , x1 ‘in katsayısı

Z2 – C2 = 0 – 3 = -3  ——>C2 , x2 ‘nin katsayısı

Z3 – C3 = 0 – 0 = 0   ——>C3 , x3 ‘ün katsayısı

Z4 – C4 = 0 – 0 = 0   ——>C4 , x4 ‘ün katsayısı

Z5 – C5 = 0 – 0 = 0   ——>C5 , x5 ‘in katsayısı

Bu değerler tabloda ilgili yerlere yazılmalıdır.

Simpleks Başlangıç Çözüm Tablosu

AFKTDVx1x2x3x4x5ÇV
0x36410020
0x43101030
0x51100140
Zj000000
Zj – Cj-2-3000 

Buraya kadar yaptıklarımızla tabloyu doldurduk. Buradan sonra yapmamız gereken anahtar sütun, anahtar satır ve anahtar sayı değerlerini bulmaktır. Anahtar sütun, temele girecek olan değişkeni belirler. Anahtar satır, temelden çıkacak olan değişkeni belirler. Anahtar sayı ise temele yeni giren değişkenin tablodaki değerlerini belirlemek için kullanılır. Anahtar sütun, amaç fonksiyonuna göre iki şekilde belirlenir. Eğer amaç fonksiyonu en büyükleme ise,  Zj – Cj satırındaki mutlak değerce en büyük olan negatif sayının bulunduğu sütun anahtar sütundur.  Amaç fonksiyonu en küçükleme ise, Zj – Cj satırındaki en büyük sayının bulunduğu sütun anahtar sütun olur. Bu şekilde anahtar sütunu belirleyip hangi değişkenin temele gireceğini bulabiliriz. Bir değişken temele girerken, temeldeki hangi değişkenin çıkacağına karar vermek için anahtar satırı bulmamız gerekir. Anahtar satırı bulmak için çözüm vektörü kısmındaki değerleri karşılık gelen anahtar sütun elemanlarına bölerek oran sütununu elde etmemiz gerekir. Oran sütununda hangi değer daha küçük ise o değerin bulunduğu satır, anahtar satır olarak adlandırılır ve temelden çıkarılır. Anahtar sayı ise anahtar sütun ile anahtar satırın kesiştiği değerdir. Şimdi bizim tablomuzdaki değerlere göre anahtar sütun, anahtar satır ve anahtar sayıyı bulalım.

Anahtar Sütun

 X1X2X3X4X5
Zj – Cj-2-3000

Buradan da görüldüğü gibi mutlak değerce en büyük olan negatif sayının bulunduğu sütun x2 sütunudur. Böylece x2 sütunu anahtar sütundur ve temele girmelidir.

Anahtar Satır

 Anahtar sütun(X2)Çözüm Vektörü(ÇV)Oran
x3455/4
x413030
x514040

Böylece x3 ‘ün temelden çıkarılması gerekir. Anahtar sütun(x2) ve anahtar satır’ın(x3) kesiştiği değerin 4 olduğu görülür. Böylece anahtar sayı 4’tür. Bu değerleri elde ettikten sonra simpleks birinci çözüm tablosunu oluşturarak çözüme devam edelim. Burada x2 satırının yeni değerleri x3  satırının değerlerinin anahtar sayıya bölünmesiyle elde edilir.

Simpleks Birinci Çözüm Tablosu

AFKTDVx1x2x3x4x5ÇV
3x23/211/4005
0x43/20-1/41025
0x5-1/20-1/40135
Zj9/233/40015
Zj – Cj5/203/400

Burada tablonun son halini yazdık ama tablonun içerisindeki değerler yeniden hesaplanmalıdır. Bu değerlerin hesaplanmasına geçilmeden önce şunu belirtmemiz gerekir temeldeki değişkenler tabloda birim matris oluştururlar. Biz tablonun yeni değerlerini bulurken bu değişkenlerin oluşturacağı birim matrisi korumamız gerekir. Simpleks başlangıç çözüm tablosuna baktığımızda temeldeki x3, x4 ve x5 değişkenlerinin tabloda birim matris oluşturduğu görülür. Simpleks birinci çözüm tablosunda ise x2, x4 ve x5 birim matris oluşturmalıdır. Temeldeki değişkenlerin bulundukları satırların değerleri bulunurken bu birim matris gözedilerek bulunacaktır. x2 satırının değerlerinin nasıl bulunduğu söylemiştik. Şimdi x4 ve x5 satırlarındaki değerleri bulalım. İlk önce x4 satırının değerlerini hesaplayalım. Bunun için x4 satırının simpleks başlangıç çözümündeki yani eski değerleri ve yeni x2 ’nin değerlerini kullanacağız. Bu değerleri kullanarak ve birim matrisi koruyarak x4 ’ün yeni değerlerini bulacağız.

 x1x2x3x4x5ÇV
Eski x43101030
Yeni x23/211/4005
Yeni x43/20-1/41025

Burada birim matrisin korunması için yeni x4 ’ün x2  sütunundaki değeri 0, x4 satırındaki değeri 1  ve x5 sütunundaki değeri 0 olmalıdır. Bunun için yeni x2 satırı (-1) ile çarpılıp toplanmalıdır. Bulunan yeni x4 satırının değerleri tabloya yazılır.

Şimdi x5 satırının değerlerini bulalım. Bunun için ise simpleks başlangıç çözüm tablosundaki yani eski x5 değerlerini ve yeni x2 değerlerini kullanacağız.

 x1x2x3x4x5ÇV
Eski x51100140
Yeni x23/211/4005
Yeni x5-1/20-1/40135

Yeni x5 değerleri bulunurken birim matrisi korumak için yeni x5‘in x2 sütunundaki değeri 0, x4 sütunundaki değeri 0 ve x5 sütunundaki değeri 1 olmalıdır. Bu sebeple yeni x2 satırı (-1) ile çarpılıp toplanmalıdır. Böylece yeni x5 satırının değerleri hesaplanmış olur. Bu değerlerde tabloya eklendiğinde hesaplamamız gereken Zj ve Zj – Cj satırı kalır. Zj satırındaki değerleri temeldeki değişkenlerin amaç fonksiyonu katsayıları ile tablodaki değerlerin çarpılıp toplanmasıyla elde ediliyordu. O zaman Zj satırındaki değerler aşağıdaki gibi hesaplanır.

Z1 = 3.(3/2)  +  0.(3/2)  +  0.(-1/2) = 9/2

Z2 = 3.1  +  0.0  +  0.0 = 3

Z3 = 3.(1/4)  +  0.(-1/4)  +  0.(-1/4) = 3/4

Z4 = 3.0 +  0.1 +  0.0 = 0

Z5 = 3.0  +  0.0  +  0.1 = 0

Ç.V = 3.5 +  0. 25+  0.35 = 15

Bu değerler tabloya yazılmalıdır. Ardından her bir Zj değeri bulunduğu sütundaki değişkenin amaç fonksiyonundaki katsayısı olan Cj ’den çıkarılarak Zj – Cj  değerleri hesaplanır.

Z1 – C1 = (9/2)– 2 = 5/2   ——>C1 , x1 ‘in katsayısı

Z2 – C2 = 3 – 3 = -0  ——>C2 , x2 ‘nin katsayısı

Z3 – C3 = 3/4 – 0 = 3/4   ——>C3 , x3 ‘ün katsayısı

Z4 – C4 = 0 – 0 = 0   ——>C4 , x4 ‘ün katsayısı

Z5 – C5 = 0 – 0 = 0   ——>C5 , x5 ‘in katsayısı

Amaç fonksiyonumuz en büyükleme olduğu için Zj – Cj satırındaki tüm değerlerin sıfır veya pozitif olması gerekir. Eğer amaç fonksiyonumuz en küçükleme olsaydı Zj – Cj satırındaki tüm değerlerin negatif veya sıfır olması gerekecekti. Yukarıdada görüldüğü gibi Zj – Cj satırındaki tüm değerler sıfır veya pozitif olduğundan en iyi çözüme ulaşmış oluruz. Böylece

Zenb = 15 , x2 = 5 , x3 = 0 , x4 = 25 , x1 = 0 , x5 = 35 olarak elde edilir.

Eğer bizim problemimizde Zj – Cj

satırındaki herhangi bir değer negatif olsaydı çözüm en iyi olmayacaktı. Bu durumda ise tekrar anahtar sütun, anahtar satır ve anahtar sayi değerlerini bulacaktık. Ardından tabloyu tekrar oluşturup buradaki gibi değerleri yeniden hesaplayıp çözümün en iyi olup olmadığını kontrol etmemiz gerekirdi. Çözüm en iyi olana kadar bu işlemleri yapmaya devam edecektik.

MATE7427Q2K8SX9066
Raslantı (Rassal) Değişkenler

Bu yazıda sizlere Olasılık konusu olan Rastlantı Değişkenleri’nden bahsedeceğim. Genel olarak yazıda kesikli rastlantı değişkeni, kesikli olasılık fonksiyonu ile örneklerini inceleyeceksiniz. İyi çalışmalar.

Rastlantı(Rassal) Değişkenler

Örneklem uzayının her noktasına ya da her rastgele olayına rastgele bir gerçel sayı bağlayan fonksiyona rastlantı değişkeni denir. Rastlantı değişkeninin diğer değişkenlerden farkı ise rastlantı değişkeninin olası değerlerini belli bir olasılıkla almasıdır. Bir başka deyişle örneklem uzayının yeniden belirlenmesi için uygulanan reel değerli fonksiyondur.

Rastlantı değişkenleri X, Y, …, aldıkları değerler ise x, y, …, ile gösterilir. X rastlantı değişkenlerinin aldığı x değerlerinin kümesi ise Rx ile gösterilir. Rx’e,  x’in tanım bölgesi denir.

ÖRNEK

İki madeni para birlikte havaya atılıyor. X rastlantı değişkeni yazı sayısını göstersin. X’in aldığı değerleri ve bu değerlerin olasılıklarını bulunuz.

Cevap:

İki para birlikte havaya atılıyorsa olası çıktılar kümesi olan örneklem uzayı aşağıdaki şekilde olur:

          S = { YY, YT, TY, TT }

Rastlantı değişkenleri yazı sayısını gösterdiğine göre, iki parayı havaya attığımızda hiç yazı gelmeyebilir. Bu durumda X = 0 olur. Sadece bir tane yazı gelebilir. Bu durumda da X = 1 olur. Son olarakta havaya attığımız iki parada yazı gelebilir. Bu durum için ise X = 2 olur. Rastlantı değişkenleri bulunduğuna göre bu değerlerin olasılıkları hesaplanmalıdır.

P(X = 0) = P(TT) = 1/4  , P(X = 1) = P(TY,YT ) = 2/4 = 1/2  , P(X = 2) = P(YY) = 1/4 olarak elde edilir.

Rastlantı değişkenleri sürekli ve kesikli rastlantı değişkenleri olmak üzere iki ayrılır. Bu yazıda kesikli rastlantı değişkenlerinden bahsedeceğim.

Rastlantı değişkenleri sürekli ve kesikli rastlantı değişkenleri olmak üzere iki ayrılır. Bu yazıda kesikli rastlantı değişkenlerinden bahsedeceğim.

KESİKLİ RASTLANTI DEĞİŞKENLERİ

X bir rastlantı değişkeni olsun. X’in tüm olası değerlerinin kümesi olan Rx, sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise X’e kesikli rastlantı değişkeni denir. Örnek olarak bir ailedeki çocuk sayısı, sınıftaki öğrenci sayısı, torbadaki top sayısı gibi değişkenler kesikli rastlantı değişkenleridir.

Kesikli Olasılık Fonksiyon Tanımı

X bir rastlantı değişkeni olsun. X rastlantı değişkeni her xi değeri  bir  p(xi) olasılığı ile alıyorsa ve p(xi) olasılık fonksiyonu ise,

1 . p(xi) = 0 ,    x ∉ Rx

2. 0 ≤  p(xi) ≤ 1 ,  x ∈ Rx

3. ∑1 p(xi) = 1 koşullarını sağlaması gerekir.

X rastlantı değişkeni için bir olasılık fonksiyonu tanımlanmamışsa,

 

 

değerleri hesaplanabilir.

 

P(X ≤ a) değeri biliniyorsa, P(X > a) değeri, P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) ile bulunabilir.

Örnek 1

Cevap

Yukarıda kesikli olasılık fonksiyonunun koşullarından bahsedilmişti. Buna göre verilen fonksiyonun koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

1.koşul  x ∉ Rx için p(xi) = 0 olduğu soruda verilmiş, dolayısıyla bu koşul sağlanır.

2.koşul   x ∈ Rx  için x değerleri artarken p(x)’in küçüldüğü görülür. p(x) negatif değer alamadığından , p(x)’in değer aralığı 0 < x < 1 ‘dir. Böylece koşul sağlanmış oldu.

Bu sonuca göre 3.koşul sağlanmamaktadır. Böylece verilen p(x) fonksiyonu kesikli olasılık fonksiyonu değildir.

Örnek 2

Bir balıkçının bir günde tuttuğu ortalama balık miktarını gösteren X rastlantı değişkeninin olasılık fonksiyonu,

biçiminde olsun. Bu olasılık dağılım fonksiyonunu kullanarak,

a) Tam 8 balık tutma,

b) 8’den az balık tutma olasılıklarını bulunuz.

Cevap:

Bir sonraki yazıda rastlantı değişkenlerinin beklenen değeri, varyansı gibi konulardan bahsedildi. Dilerseniz buradan ilgili konuya gidebilirsiniz.

MATEAB2QJ5E6B457I4