Raslantı (Rassal) Değişkenler

Bu yazıda sizlere Olasılık konusu olan Rastlantı Değişkenleri’nden bahsedeceğim. Genel olarak yazıda kesikli rastlantı değişkeni, kesikli olasılık fonksiyonu ile örneklerini inceleyeceksiniz. İyi çalışmalar.

Rastlantı(Rassal) Değişkenler

Örneklem uzayının her noktasına ya da her rastgele olayına rastgele bir gerçel sayı bağlayan fonksiyona rastlantı değişkeni denir. Rastlantı değişkeninin diğer değişkenlerden farkı ise rastlantı değişkeninin olası değerlerini belli bir olasılıkla almasıdır. Bir başka deyişle örneklem uzayının yeniden belirlenmesi için uygulanan reel değerli fonksiyondur.

Rastlantı değişkenleri X, Y, …, aldıkları değerler ise x, y, …, ile gösterilir. X rastlantı değişkenlerinin aldığı x değerlerinin kümesi ise R_x ile gösterilir. R_x’e,  x’in tanım bölgesi denir.

ÖRNEK

İki madeni para birlikte havaya atılıyor. X rastlantı değişkeni yazı sayısını göstersin. X’in aldığı değerleri ve bu değerlerin olasılıklarını bulunuz.

Cevap:

İki para birlikte havaya atılıyorsa olası çıktılar kümesi olan örneklem uzayı aşağıdaki şekilde olur:

          S = { YY, YT, TY, TT }

Rastlantı değişkenleri yazı sayısını gösterdiğine göre, iki parayı havaya attığımızda hiç yazı gelmeyebilir. Bu durumda X = 0 olur. Sadece bir tane yazı gelebilir. Bu durumda da X = 1 olur. Son olarakta havaya attığımız iki parada yazı gelebilir. Bu durum için ise X = 2 olur. Rastlantı değişkenleri bulunduğuna göre bu değerlerin olasılıkları hesaplanmalıdır.

P(X = 0) = P(TT) = 1/4  , P(X = 1) = P(TY,YT ) = 2/4 = 1/2  , P(X = 2) = P(YY) = 1/4 olarak elde edilir.

Rastlantı değişkenleri sürekli ve kesikli rastlantı değişkenleri olmak üzere iki ayrılır. Bu yazıda kesikli rastlantı değişkenlerinden bahsedeceğim.

Rastlantı değişkenleri sürekli ve kesikli rastlantı değişkenleri olmak üzere iki ayrılır. Bu yazıda kesikli rastlantı değişkenlerinden bahsedeceğim.

KESİKLİ RASTLANTI DEĞİŞKENLERİ

X bir rastlantı değişkeni olsun. X’in tüm olası değerlerinin kümesi olan R_x, sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise X’e kesikli rastlantı değişkeni denir. Örnek olarak bir ailedeki çocuk sayısı, sınıftaki öğrenci sayısı, torbadaki top sayısı gibi değişkenler kesikli rastlantı değişkenleridir.

Kesikli Olasılık Fonksiyon Tanımı

X bir rastlantı değişkeni olsun. X rastlantı değişkeni her x_i değeri  bir  p(x_i) olasılığı ile alıyorsa ve p(x_i) olasılık fonksiyonu ise,

1 . p(x_i) = 0 ,    x ∉ R_x

2. 0 ≤  p(x_i) ≤ 1 ,  x ∈ R_x

3. ∑^∞₁ p(x_i) = 1 koşullarını sağlaması gerekir.

X rastlantı değişkeni için bir olasılık fonksiyonu tanımlanmamışsa,

değerleri hesaplanabilir.

P(X ≤ a) değeri biliniyorsa, P(X > a) değeri, P(X > a) = 1 – P(X ≤ a) ile bulunabilir.

Örnek 1

Cevap

Yukarıda kesikli olasılık fonksiyonunun koşullarından bahsedilmişti. Buna göre verilen fonksiyonun koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

1.koşul  x ∉ R_x için p(x_i) = 0 olduğu soruda verilmiş, dolayısıyla bu koşul sağlanır.

2.koşul   x ∈ R_x  için x değerleri artarken p(x)’in küçüldüğü görülür. p(x) negatif değer alamadığından , p(x)’in değer aralığı 0 < x < 1 ‘dir. Böylece koşul sağlanmış oldu.

Bu sonuca göre 3.koşul sağlanmamaktadır. Böylece verilen p(x) fonksiyonu kesikli olasılık fonksiyonu değildir.

Örnek 2

Bir balıkçının bir günde tuttuğu ortalama balık miktarını gösteren X rastlantı değişkeninin olasılık fonksiyonu,

biçiminde olsun. Bu olasılık dağılım fonksiyonunu kullanarak,

a) Tam 8 balık tutma,

b) 8’den az balık tutma olasılıklarını bulunuz.

Cevap:

Bir sonraki yazıda rastlantı değişkenlerinin beklenen değeri, varyansı gibi konulardan bahsedildi. Dilerseniz buradan ilgili konuya gidebilirsiniz.