Matlab’de Polinom Tanımlama,Toplama,Çarpma ve Bölme İşlemleri

Bu yazıda Matlab’de polinomların nasıl tanımlandığını ve polinomlar üzerindeki işlemlerden bahsedeceğim.

Polinom Tanımlama

Polinom, belirli sayıda bağımsız değişken ve sabit sayıdan oluşan ifadelerdir. Matematik’te karşımıza sıklıkla çıkan polinomların özellikle kökünü bulma, toplama, çarpma, polinom bölmesi, grafik çizdirme gibi işlemlerini Matlab’de gerçekleşleştirebiliriz. Bunları yapabilmek için ilk önce polinomu tanımlamamız gerekir. Farz edelim ki,

P(x) =a x⁵ + b x⁴ + c x³ + d x² + e x + f

gibi bir polinom olsun. Bu polinomu Matlab’de bağımsız değişkenlerin azalan kuvvetlerine göre katsayılarından oluşan satır vektörü ile tanımlayabiliriz. Açıklamak gerekirse, p = [a  b  c  d  e  f] şeklinde tanımlanır. Örnek olarak: P₁(x) = a x⁵ + b x³ +c x² + f  gibi bir polinom olsun. Fakat bu polinom Matlab’e  p₁= [a  b  c  f] diye tanımlarsak, Matlab’ın anlayacağı polinom  a x³ + b x² +c x + f  polinomu olur. Çünkü Matlab’de azalan kuvvetlerin sırasıyla katsayıları yazılarak polinom tanımlanır. Bu tarz durumlarda olmayan kuvvetlerin katsayısına satır vektöründe 0 (sıfır) yazılmalıdır. Böylece Matlab, o kuvvetin polinom içinde olmadığını anlar. P(x) polinomu doğru bir şekilde tanımlamak için:

   p₁= [a   0   b    c   0   f]  yazmalıyız.

Bir polinomu Matlab’e bu şekilde tanımlanır. Şimdi tanımladığımız bir polinomun kökünü nasıl bulacağımıza bakalım. Bunun için roots( ) komutu kullanılmalıdır. Örneğin P(x) =  x² –  x + 6  polinomuna bakalım. Öncelikle bu polinomu Matlab’a tanımlayalım. p = [1  -1  6] olarak tanımlayabiliz. roots( ) komutu ile bu polinomun kökleri aşağıdaki gibi bulunur.

INPUT:

>> p = [1  -1  6] 

OUTPUT:
    
 p =
     1    -1     6 INPUT: >> roots(p) OUTPUT: ans = 0.5000 + 2.3979i 0.5000 - 2.3979i

Toplama

P₁(x) = 6 x³ + 5 x² + 10 x + 4 ve P₂(x) = 6 x³ + 5 x² + 10 x + 4 gibi iki polinomu Matlab’de toplamak isteyelim. Bunun için herhangi bir komut kullanmamıza gerek yok. Öncelikle polinomları Matlab’de tanımlayalım. Ardından “ + ” operatörünü kullanarak iki polinomu toplayalım.

INPUT:

>>p1 = [6  5 10 4]

OUTPUT:

p1 =
      6     5    10     4 INPUT: >>p2 = [4 5 6 7] OUTPUT: p2 =     4     5     6     7 INPUT: >> toplama = p1+p2 OUTPUT: toplama =          10    10    16    11 

Bu iki polinom toplandığında sonuç olarak P₃(x) = 10 x³ + 10 x² + 16 x + 11 polinomunu elde ederiz. Burada dikkat etmemiz gereken husus ise topladığımız iki ya da daha fazla polinomun boyutlarının eşit olmasıdır.

Çarpma

Matlab’de polinom çarpımı yapmak için conv( ) komutunu kullanabiliriz. conv() komutu katsayılardan oluşan iki satır vektörünü çarparak elde edilen polinomun katsayılarını verir.

Örnek olarak P₁(x) = 4 x² + 2 x + 2 ve P₂(x) = 3 x² + 5 x + 4 polinomlarını Matlab’de çarpalım.

INPUT:

>> p1 = [4 0 2 2]

OUTPUT:

p1 =
     4     0     2     2 INPUT: >> p2 = [3 5 2] OUTPUT: p2 =     3     5     2 INPUT: >> carpma = conv(p1,p2) OUTPUT: carpma = 12 20 14 16 14 4 %Elde edilen polinom %12x5+20x4+14x3+16x2+14x+4

Bölme

Polinomal bölme yapmak için deconv( ) komutunu kullanabiliriz. Bunun için aşağıdaki komutu kullanılabiliriz:

[bölüm,kalan] = deconv(bölünen,bölen)

Örnek olarak P₁(x) = 3 x² + 4 x + 2 ve P₂(x) = 2 x + 1 polinomları olsun. Polinom bölmesi aşağıda görüldüğü gibi yapılabilir:

INPUT:

>> p1 = [3 4 2]

OUTPUT:

p1 =
     3     4     2 INPUT: >> p2 = [2 1] OUTPUT: p2 =     2     1 INPUT: >> [bolum,kalan] = deconv(p1,p2) OUTPUT: bolum =         1.5000    1.2500 kalan =         0         0    0.7500

Bir polinomun köklerini hesaplamak için roots( ) komutunu kullanıyorduk. Bunun tersi olarakta kökleri verilen bir polinomun kendisinide bulabiliriz. Bunu yapabilmek için poly( ) komutunu kullanmamız gerekir. Katsayılarını bulmak istediğimiz polinomun köklerini satır vektörü olarak tanımlamalıyız. Bu satır vektörünü poly( ) fonksiyonuna girdiğimizde aradığımız polinomun katsayılarını elde etmiş oluruz. Örnek olarak -1 ve 1 köküne sahip polinomu elde etmeye çalışalım. Bu işlem aşağıdaki gibi olur:

INPUT:

>>kokler = [-1 1]

OUTPUT:

kokler =
         -1     1 INPUT: >>poly(kokler) OUTPUT: ans =      1     0    -1 %bulunan polinom x2 - 1 polinomu olur.

Değer Hesaplama

Bir polinomun içerisine bir değer (x=5 gibi) yazarak hesaplamayı biliyoruz. Fakat bu işlemi Matlab’de yapmak için polyval( ) komutunu kullanmamız gerekir. polyval( ) fonksiyonu ile elemanları verilen bir polinomun sonucunu hesaplayabiliriz. Örnek olarak x=2 için P(x) = x³ + 3 x² + 6 x + 1 polinomunun sonucunu Matlab’de hesaplayalım. Bu hesaplama işlemi için aşağıdaki işlemler yapılabilir:

INPUT:

>> p = [3 6 1]

OUTPUT:

p =
    3     6     1 INPUT: >> polyval(p,2) OUTPUT: ans =      25

Bir sonraki yazıda sizlere Matlab’de polinomların türevlerinin hesaplanmasından ve denklem çözümünden bahsedeceğim.